一个关于逻辑和概率的简单科普

人们一般说的逻辑指命题逻辑,它是理性思维的基本规则。比如以罗素为代表的数理哲学家就把逻辑看作数学的基础。命题逻辑的规则并不多,很多人心里都是知道一些大概的的,不过有人没有正式学过,有些地方不太清楚而已。这篇文章就简单扼要地说一说。更重要的是,本文要介绍现在一个新的进展,就是把概率论看作逻辑的扩展,把传统的亚里士多德的逻辑看成是概率论的特例。

让我们用大写字母表示命题,命题可以是任何论断或描述,有真假之分。比如,A:="今天要下雨",:=表示"定义为"。这命题可能是真,也可以为假。逻辑学不管命题究竟现实是真是假,只根据这些命题的已知的真假,来决定逻辑推理的结论是真是假。

简单的命题可以用布尔逻辑操作符来组合成复杂的命题。比如,A:="今天要下", B:="我出门要带伞", AB:="今天要下雨,并且,我出门要带伞"。A+B:="今天要下雨,或者,我出门要带伞"。~A 表示否定,"今天不会下雨"。

注意,只有当A,B都为假时,A+B才为假,其余三种情况,A+B都为真,这和人们日常的"或者"含义有点不同。

当A和B的真假情况总是一致的时候,我们用A=B表示。

下面就是布尔逻辑的一些规则:

AA = A
A+A = A
AB = BA
A+B = B+A
A(BC) = (AB)C = ABC
A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C
如果C=AB, 那么~C=~A+~B
如果D=A+B, 那么~D=~A~B

现在我们讲逻辑最有用的操作:推论。如果A为真,那么B也必须为真,我们就用A=>B来表示,也就是A推出B。注意,A=>B和A=AB是一回事,也意味着A~B是假,也就是~A+B是真。这其实就是所谓的两种强三段论:

(1)
A=>B
A 为真
-----
B为真

(2)
A=>B
B 为假
-----
A为假

注意,当A为假的时候,A=>B不能确定地告诉我们B的真假,B可能为真,也可能为假。当B为真的时候,A=>B不能确定地告诉我们A的真假,A可能为真,也可能为假。事实上,有的逻辑学家认为,A=>B只有当A真B假的时候才为假,其他三种情况都为真!也就是说,A为假时,A=>B总是真的,无论B是什么命题。这也是很多错误推论的由来:错的前提可以推出一切结果!

当然,这样的逻辑规则好像太有局限性了。首先,命题只有正误之分,要么对,要么错。这和人的常识不一致,因为人对很多东西的判断不是那么绝对的,有不确定性。第二,强的三段论也对很多我们想作的推论无能为力(具体见上面一段)。现在一个发展,就是把概率论看作逻辑的延伸,解决这两个布尔逻辑的局限性问题。

概率论这个数学分支有两种传统。一个是把概率看成客观的随机事件发生的频率。这是一般学校教的传统。持这种观点的人叫频率论者。另一个,也就是我这儿谈的,把概率看成是对命题正确可能性的判断。这样,布尔逻辑就是概率论的特例,命题确定为真就是概率为1,反之为0,在0和1之间的实数反映了命题为真的不确定性。比如,p(A)=0.8, 其值接近1,表示我认为"今天要下雨"的命题为真的可能性是比较大的; p(B|A)=1是一个条件概率,其值为1,表示在我认为今天要下雨的条件下,我出门肯定要带伞的。事实上,这后一种概率论是概率最初的本意,持这种观点的人叫贝叶斯论者。当然,又有主观客观贝叶斯论者之分。无论那种概率论的解读,概率论的规则是一样的。而且,很多不同角度的数学证明表明,概率论的规则是唯一和人的常识一致的,自洽的一套不确定性推理规则。

概率论的规则只有两条。

*乘法律:

p(AB|C) = p(A|C)p(B|AC) = p(B|C)p(A|BC)
p(A|C) + p(~A|C) = 1

*加法律:

p(A+B|C) = p(A|C) + p(B|C) - p(AB|C)

这样写主要是强调所有概率都是条件概率,这儿C是一个背景命题,代表所有这些命题的前提条件。

上面已经提到,布尔逻辑是概率论的特例,自然,这些概率论规则已经包含了强三段论。下面我们就看看是不是这样。

让我们定义C:="A=>B",也就是说让C代表"如果A真,那么B真",这是强三段论的主前提。我们知道,A=>B就是A=AB,我们的定义就等于说p(A|C)=p(AB|C)。

先看强三段论(1), 根据概率论的乘法律,我们有

p(B|AC) = p(AB|C) / p(A|C) = 1

这就与强三段论(1)的结论一致了。我们可以同样证明强三段论(2)与概率论规则的一致性。

概率论真正的好处,当然是让我们进行逻辑所不能作的推论。这就是所谓的弱三段论。

(3)
A=>B
B为真
----
A为真的可能性增大

(4)
A=>B
A为假
----
B为假的可能性增大

这儿我们证明弱三段论(3)和概率论的规则一致。要证明(3), 其实就是要证明p(A|BC) >= p(A|C)。根据概率论的乘法律,我们有

p(A|BC) = p(A|C)p(B|AC) / p(B|C)

这儿顺便提一下(这段可以跳过),这个公式就是有名的贝叶斯定理。p(A|BC)叫后验概率(posterior),是我们想知道的结论。p(A|C)叫先验概率(prior),是在不知道B真假的情况下A为真的可能性。 p(B|AC)叫似然概率(likelihood),是在A为真的条件下B发生的可能性。p(B|C)这个分母把后验概率的值规范化为一个正确的概率值(0 <= p <= 1)。

我们在证明(1)的时候已经证明了当前提是A=>B时,p(B|AC)=1,所以,上面的公式现在变成了

p(A|BC) = p(A|C) / p(B|C)

因为p(B|C)是一个概率值,p(B|C)<=1

p(A|BC) >= p(A|C)

这就证明了弱三段论(3)是与概率论一致的。弱三段论(4)的一致性证明留作家庭作业。

事实上,还有个更弱的三段论:

(5)
如果A为真,那么B为真的可能性增大
B为真
----
A为真的可能性增大

这个三段论的证明相当于要证明p(A|BC)>=p(A|C),这儿的C是任意背景命题。先看这个三段论的主前提,可写成p(B|AC)>=p(B|C),这样,从前面提到的贝叶斯定理

p(A|BC) = p(A|C)p(B|AC) / p(B|C)

就自然得到p(A|BC)>=p(A|C),证毕。

相应的,我们也有:

(6)
如果A为真,那么B为真的可能性增大
A为假
----
B为假的可能性增大

这些弱三段论也是人们日常使用的推理规则,现在概率论给他们赋予了理论上的合理性。当然,要记住的是用弱三段论所作的推论不像用强三段论作出的推论那样有逻辑上的确定性。

参考文献:

E.T. Jaynes, Probability Theory: the Logic of Science, Cambridge Press, 2003

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